Question

9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）（x∈R）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式并求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小值并指出函数f（x）取最小值时相应的x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由图形可确定A，周期T，从而可得ω的值，再由f（$\frac{π}{6}$）=2，得2×$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z），进一步结合条件可得φ的值，即可解得f（x）的解析式，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，可得函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）由正弦函数的图象和性质，由2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$（k∈Z），即可解得函数f（x）的最小值并指出函数f（x）取最小值时相应的x的值．

解答 解：（Ⅰ）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）（x∈R）的部分图象可得A=2，最小正周期T=2（$\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}$）=π，得ω=2，可得函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+φ），
又f（$\frac{π}{6}$）=2，
所以sin（$\frac{π}{3}$+φ）=1，
由于|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得φ=$\frac{π}{6}$，
所以函数f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）------------（6分）
由于2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，可得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z），
所以函数f（x）的单调递增区间为：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z），---------（8分）
（Ⅱ）函数f（x）的最小值为-2，------------（9分）
函数f（x）取最小值-2时，有2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$（k∈Z），可得：x=kπ-$\frac{π}{3}$（k∈Z），
所以函数f（x）取最小值-2时相应的x的值是：x=kπ-$\frac{π}{3}$（k∈Z）．--------（12分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，难点在于相位φ的确定，属于中档题．