Question

14．二次函数f（x）=ax²-$\sqrt{2}$bx+c，其中a，b，c是某钝角三角形的三边，且三边中b最长．
（1）试证明函数有两个零点；
（2）若a=c，试求零点α，β间距离|α-β|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）证明方程有两个不等实根，即只要验证△＞0即可．
（2）根据二次方程根与系数的关系，将|α-β|转化为某变量的函数，再求它的变化范围．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）在钝角△ABC中，b边最长．
$则{b^2}＞{a^2}+{c^2}，△={（-\sqrt{2}b）^2}-4ac=2{b^2}-4ac＞2（{a^2}+{c^2}）-4ac=2{（a-c）^2}≥0$，
∴函数有两个零点．
（2）零点为α，β．又a=c，
∴${|{α-β}|^2}={（{α+β}）^2}-4αβ=\frac{{2{b^2}}}{a^2}-4$=$\frac{{2（{a^2}+{c^2}-2accosB）-4{a^2}}}{a^2}=-4cosB$，
∵-1＜cosB＜0，
∴0＜-4cosB＜4，
∴0＜|α-β|＜2．

点评 本题是以一元二次方程作为，考查解三角形的有关定理，余弦定理作为研究三角形边角关系的一大工具，应用广泛．通过余弦定理沟通了三角函数与三角形有关性质，在研究较复杂的三角形问题时，常需正、余弦定理联袂出场、密切协作，方能解决问题，属于中档题．