Question

2．已知△ABC中，A=90°，AB=3，AC=2．已知λ∈R，且点P，Q满足$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AQ}$=（1-λ）$\overrightarrow{AC}$，若$\overrightarrow{BQ}$•$\overrightarrow{CP}$=-6，则λ=（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 根据平面向量的线性运算，得到$\overrightarrow{BQ}$=（1-λ）$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CP}$=λ$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$，代入$\overrightarrow{BQ}$•$\overrightarrow{CP}$=-6，化简整理得：-（1-λ）${\overrightarrow{AC}}^{2}$+[λ（1-λ）+1]$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$-λ${\overrightarrow{AB}}^{2}$=-6，再由∠A=90°，AB=3，AC=2即可解出λ值．

解答 解：由题意可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$，
∵$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AQ}$=（1-λ）$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{BQ}$=（1-λ）$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$，
$\overrightarrow{CP}$=λ$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$，
代入$\overrightarrow{BQ}$•$\overrightarrow{CP}$=-6，化简整理得：-（1-λ）${\overrightarrow{AC}}^{2}$+[λ（1-λ）+1]$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$-λ${\overrightarrow{AB}}^{2}$=-6，
即-4+4λ-9λ=-6，
解得：λ=$\frac{2}{5}$．
故选：B．

点评 本题考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，考查向量的数量积的运算，是中档题．