Question

10．已知函数f（x）=cos（ωx+$\frac{π}{3}$），（ω＞0，0＜φ＜π），其中x∈R且图象相邻两对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$；
（1）求f（x）的对称轴方程和单调递增区间；
（2）求f（x）的最大值、最小值，并指出f（x）取得最大值、最小值时所对应的x的集合．

Answer 1

分析 （1）由条件利用余弦函数的图象特征，求得ω的值，可得函数的解析式，再利用余弦函数的单调性得出结论．
（2）由条件利用余弦函数的最值，求得f（x）取得最大值、最小值时所对应的x的集合．

解答 解：（1）函数f（x）=cos（ωx+$\frac{π}{3}$）的图象的两对称轴之间的距离为 $\frac{π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，
∴ω=2，f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）．
令2x+$\frac{π}{3}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，可得对称轴方程为 x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，k∈Z．
令2kπ-π≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ，求得 kπ-$\frac{2π}{3}$≤x≤kπ-$\frac{π}{6}$，
可得函数的增区间为[kπ-$\frac{2π}{3}$，kπ-$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（2）当2x+$\frac{π}{3}$=2kπ，即x=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z时，f（x）取得最大值为1．
当2x+$\frac{π}{3}$=2kπ+π，即x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z时，f（x）取得最小值为-1．
∴f（x）取最大值时相应的x集合为{x|x=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z}；
f（x）取最小值时相应的x集合为{x|x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z}．

点评 本题主要考查余弦函数的图象特征，余弦函数的单调性以及最值，属于中档题．