Question

20．已知数列{a_n}满足${a_1}=\frac{1}{2}$，且当n≥2，且n∈N^*时，有$\frac{{{a_{n-1}}}}{a_n}=\frac{{{a_{n-1}}+2}}{{2-{a_n}}}$，
（1）求证：数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$为等差数列；
（2）已知函数$f（n）={（\frac{9}{10}）^n}（{n∈{N_+}}）$，试问数列$\left\{{\frac{f（n）}{a_n}}\right\}$是否存在最小项，如果存在，求出最小项；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{{{a_{n-1}}}}{a_n}=\frac{{{a_{n-1}}+2}}{{2-{a_n}}}$，整理化简可得a_n-1-a_n=a_n-1a_n．变形即可得出；
（2）利用等差数列的通项公式可得a_n，进而得到b_n，再利用数列的单调性即可得出．

解答 （1）证明：$\frac{{{a_{n-1}}}}{a_n}=\frac{{{a_{n-1}}+2}}{{2-{a_n}}}⇒2{a_{n-1}}-{a_{n-1}}{a_n}={a_{n-1}}{a_n}+2{a_n}$⇒a_n-1-a_n=a_n-1a_n$⇒\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=1（{n≥2，且n∈{N^*}}）$．
∴$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是首项为$\frac{1}{a_1}=2$，公差d=1的等差数列．
（2）数列$\left\{{\frac{f（n）}{a_n}}\right\}$的第8项或第9项是最大项，无最小项．
由（1）$\frac{1}{a_n}=2+（n-1）=n+1$．
令${b_n}=\frac{f（n）}{a_n}={（{\frac{9}{10}}）^n}（{n+1}）（{n∈{N_+}}）$，则$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=（{{{（{\frac{9}{10}}）}^{n+1}}（n+2）}）÷（{{{（{\frac{9}{10}}）}^n}（n+1）}）=\frac{{9（{n+2}）}}{{10（{n+1}）}}$．
令$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}≥1?n≤8$，即b₁＜b₂＜…＜b₈=b₉；
令$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}＜1?n＞8$，即b₉＞b₁₀＞…，
∴（b_n）_max=b₈=b₉=$\frac{{9}^{9}}{1{0}^{8}}$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．