Question

11．设函数f（x）=e^1-x+lnx-x²．
（I）若f（x）的定义域为（$\frac{1}{2}$，+∞），解不等式f（x）≥0；
（Ⅱ）证明：f（x）在区间（0，$\frac{1}{2}$）上有唯一极值点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据得到e+e^x（lnx-x²）≥0，构造函数g（x）=lnx-x²，利用导数求出函数的最值，判断出函数f（x）的单调性，继而得到不等式的解集；
（Ⅱ）先求导，再构造函数h（x）=e^x（1-2x）-ex，求导，再构造函数t（x）=-2x²-4x+1=-2（x+1）²+3，判断出函数的单调性，求出函数的值域，即可
判断函数h（x）的单调性，由函数的单调性证明结论．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=e^1-x+lnx-x²，
∴e+e^x（lnx-x²）≥0，
设f（x）=0，解得x=1，
设g（x）=lnx-x²，
则g′（x）=$\frac{1-2{x}^{2}}{x}$，
当g′（x）≥0时，解得0＜x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，函数g（x）单调递增，
当g′（x）＜0时，解得x＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，函数g（x）单调递减，
∴当x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，g（x）有最大值，
即g（x）_max=g（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=-$\frac{1}{2}$ln2-$\frac{1}{2}$＜0，
∴e^x（lnx-x²）为减函数，
∴f（x）≥0的解集为（$\frac{1}{2}$，1]
（2）∵f′（x）=-e^1-x+$\frac{1}{x}$-2x=$\frac{{e}^{x}（1-2x）-ex}{x{e}^{x}}$
令f′（x）=0，即e^x（1-2x）-ex=0，
设h（x）=e^x（1-2x）-ex，
∴h′（x）=e^x（-2x²-4x+1）-e，
设t（x）=-2x²-4x+1=-2（x+1）²+3，
∴t（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上单调递减，
∴t（$\frac{1}{2}$）＜t（x）＜t（0），
即-$\frac{3}{2}$＜t（x）＜1，
∴e^x（-2x²-4x+1）-e＜0，
∴h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上单调递减，
∴f′（0）=1＞0，f′（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{e}$-e）＜0，
∴f′（x）在区间（0，$\frac{1}{2}$）上有唯一解，
∴f（x）在区间（0，$\frac{1}{2}$）上有唯一极值点

点评 本题考查了导数和函数的最值的关系，考查了转化思想，分析解决问题的能力，运算能力，属于难题．