Question

4．（1）过点P（0，1）作直线l使它被直线l₁：2x+y-8=0和l₂：x-3y+10=0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．
（2）光线沿直线l₁：x-2y+5=0射入，遇直线l：3x-2y+7=0后反射，求反射光线所在的直线方程．

Answer 1

分析 （1）设l与l₁的交点为A（a，8-2a），则根据点A关于点P的对称点B（-a，2a-6）在l₂上，求得a的值．再根据再根据点A、P的坐标，用两点式求得直线l的方程．
（2）先求得反射点M的坐标，在直线l₁上取一点N（-5，0），设点N关于直线l：3x-2y+7=0的对称点K，求得K的坐标，用两点式求得反射光线所在的直线（即直线MK）的方程．

解答 解：（1）过点P（0，1）作直线l使它被直线l₁：2x+y-8=0和l₂：x-3y+10=0截得的线段被点P平分，
设l与l₁的交点为A（a，8-2a），则点A关于点P的对称点B（-a，2a-6）在l₂上，
∴-a-3（2a-6）+10=0，求得a=4，故A（4，0）．
再根据点A、P的坐标，求得直线l的方程为$\frac{y-1}{0-1}$=$\frac{x-0}{4-0}$，即x+4y-4=0．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+5=0}\\{3x-2y+7=0}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2}\end{array}\right.$，可得反射点M（-1，2）．
在直线l₁：x-2y+5=0上取一点N（-5，0），设点N关于直线l：3x-2y+7=0的对称点K（b，c），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{b+5}•\frac{3}{2}=-1}\\{3•\frac{b-5}{2}-2•\frac{c}{2}+7=0}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{17}{13}}\\{c=-\frac{32}{13}}\end{array}\right.$，可得点K（-$\frac{17}{13}$，-$\frac{32}{13}$），且点K在反射光线所在的直线上．
再根据点M、K的坐标，利用两点式求得反射光线所在的直线方程为$\frac{y+\frac{32}{13}}{2-（-\frac{32}{13}）}$=$\frac{x+\frac{17}{13}}{-1+\frac{17}{13}}$，
化简为29x-2y+33=0．

点评 本题主要考查反射定理的应用，用两点式求直线的方程，求一个点关于直线的对称点的坐标，属于中档题．