Question

16．已知函数f（x）是定义在R上偶函数，且在区间（-∞，0]上单调递减，则不等式f（x²-3x）＜f（4）的解集为（-1，4）．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化，讨论变量的取值范围即可．

解答 解：∵函数f（x）是定义在R上偶函数，且在区间（-∞，0]上单调递减，
∴函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，÷
①当x²-3x≤0不等式等价为f（x²-3x）＜f（-4），
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x≤0}\\{{x}^{2}-3x＞-4}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤3}\\{x∈R}\end{array}\right.$，此时0≤x≤3，
②当x²-3x＞0不等式f（x²-3x）＜f（4），
等价为$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x＞0}\\{{x}^{2}-3x＜4}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x＞3或x＜0}\\{-1＜x＜4}\end{array}\right.$，即-1＜x＜0或3＜x＜4，
综上-1＜x＜4，
故答案为：（-1，4）

点评 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．