Question

14．购买某种汽车的费用为15万元，每年应交保险费，养路费及汽油费合计为1万元，汽车的年平均维修费如下：第1年4千元，第2年7千元，第3年1万元，依次成等差数列逐年递增，
（1）求这种汽车使用n年的年平均费用y与n的函数关系式；
（2）问使用多少年报废最合算（即使用多少年年平均费用最少）？

Answer 1

分析 （1）由汽车的年平均维修费依次成等差数列逐年递增，得到n年维修费的费用总和，再由此得到n年总费用，由总费用除以n即可得年平均费用．
（2）由基本不等式得到年平均费用最少的年份．

解答 解：（1）∵汽车的年平均维修费如下：第1年4千元，第2年7千元，第3年1万元，依次成等差数列逐年递增，
∴设每年的年平均维修为a_n（千元），则a_n=1+3n，
n年的维修费用为S_n=$\frac{3{n}^{2}+5n}{2}$，
∴y=（150+10n+S_n）÷n=$\frac{3}{2}$n+$\frac{150}{n}$+$\frac{25}{2}$．
（2）年平均费用为y=$\frac{3}{2}$n+$\frac{150}{n}$+$\frac{25}{2}$
由基本不等式得y≥42.5
当且仅当n=10时等号成立．
即使用10年报废最合算．

点评 本题考查等差数列求和，以及总费用除以n可得年平均费用．由基本不等式得到年平均费用最少的年份．