Question

9．定义在R上的函数f（x）满足$f（{x+2}）=\frac{1}{2}f（x）$，当x∈[0，2）时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}-2{x^2}，0≤x＜1\\-{2^{1-|{x-\frac{3}{2}}|}}，1≤x＜2\end{array}\right.$，函数g（x）=x³+3x²+m．若?s∈[-4，-2），?t∈[-4，-2），不等式f（s）-g（t）≥0成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-12]
• B． （-∞，-4]
• C． （-∞，8]
• D． $（{-∞，\frac{31}{2}}]$

Answer 1

分析 由f（x+2）=$\frac{1}{2}$f（x）得f（-$\frac{1}{2}$）=2f（$\frac{3}{2}$）=2×（-2）=-4，x∈[-4，-3]，f（-$\frac{5}{2}$）=2f（-$\frac{1}{2}$）=-8，?s∈[-4，2），f（s）_最小=-8，借助导数判断：?t∈[-4，-2），g（t）_最小=g（-4）=m-16，不等式f（s）-g（t）≥0恒成立，得出f（s）_小=-8≥g（t）_最小=g（-4）=m-16，求解即可．

解答 解：∵当x∈[0，2）时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}-2{x^2}，0≤x＜1\\-{2^{1-|{x-\frac{3}{2}}|}}，1≤x＜2\end{array}\right.$，
∴x∈[0，2），f（0）=$\frac{1}{2}$为最大值，
∵f（x+2）=$\frac{1}{2}$f（x），
∴f（x）=2f（x+2），
∵x∈[-2，0]，
∴f（-2）=2f（0）=2×$\frac{1}{2}$=1，
∵x∈[-4，-3]，
∴f（-4）=2f（-2）=2×1=2，
∵?s∈[-4，2），
∴f（s）_最大=2，
∵f（x）=2f（x+2），
x∈[-2，0]，
∴f（-$\frac{1}{2}$）=2f（$\frac{3}{2}$）=2×（-2）=-4，
∵x∈[-4，-3]，
∴f（-$\frac{5}{2}$）=2f（-$\frac{1}{2}$）=-8，
∵?s∈[-4，2），
∴f（s）_最小=-8，
∵函数g（x）=x³+3x²+m，
∴g′（x）=3x²+6x，
3x²+6x＞0，x＞0，x＜-2，
3x²+6x＜0，-2＜x＜0，
3x²+6x=0，x=0，x=-2，
∴函数g（x）=x³+3x²+m，在（-∞，-2）（0，+∞）单调递增．
在（-2，0）单调递减，
∴?t∈[-4，-2），g（t）_最小=g（-4）=m-16，
∵不等式f（s）-g（t）≥0，
∴-8≥m-16，
故实数满足：m≤8，
故选C．

点评 本题考查了函数的图象的应用，判断最大值，最小值问题，来解决恒成立和存在性问题，属于中档题．