Question

1．在数列{a_n}中，${a_1}=1，{a_{n+1}}=2{a_n}+1\;（n∈{N^+}）$．
（Ⅰ）证明数列{a_n+1}成等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=（2n+1）（a_n+1），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过对a_n+1=2a_n+1变形可知a_n+1+1=2（a_n+1），进而可知数列{a_n+1}是首项、公比均为1的等比数列，计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知b_n=（2n+1）•2ⁿ，利用错位相减法计算即得结论．

解答 （Ⅰ）证明：∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又∵a₁+1=1+1=2，
∴数列{a_n+1}是首项、公比均为1的等比数列，
∴a_n+1=2ⁿ，a_n=-1+2ⁿ；
（Ⅱ）解：由（I）可知b_n=（2n+1）（a_n+1）=（2n+1）•2ⁿ，
则S_n=3•2¹+5•2²+…+（2n+1）•2ⁿ，
2S_n=3•2²+5•2³+…+（2n+1）•2ⁿ⁺¹，
两式相减得：-S_n=3•2¹+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=3•2¹+2•$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=2+（2n-1）•2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．