Question

18．若A_n和B_n分别表示数列{a_n}和{b_n}的前n项的和，对任意正整数n，a_n=2（n+1），3A_n-B_n=4n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；    
（2）记c_n=$\frac{2}{{{A_n}+{B_n}}}$，求{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过a_n=2（n+1）可知数列{a_n}是首项为4、公差为2的等差数列，进而利用等差数列的求和公式计算可知A_n=n²+3n，利用3A_n-B_n=4n可知B_n=3n²+5n，分n=1与n≥2两种情况计算可知b_n=6n+2；    
（2）通过（1）裂项可知c_n=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），进而并项相加即得结论．

解答 解：（1）∵对任意正整数n，a_n=2（n+1），
∴数列{a_n}是首项为4、公差为2的等差数列，
∴A_n=$\frac{n（4+2n+2）}{2}$=n²+3n，
又∵3A_n-B_n=4n，
∴B_n=3A_n-4n=3n²+5n，
∴当n≥2时，b_n=B_n-B_n-1=（3n²+5n）-[3（n-1）²+5（n-1）]=6n+2，
又∵b₁=3+5=8满足上式，
∴b_n=6n+2；    
（2）由（1）可知，A_n+B_n=n²+3n+3n²+5n=4n²+8n，
则c_n=$\frac{2}{{{A_n}+{B_n}}}$=$\frac{2}{4{n}^{2}+8n}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴S_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{4}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3}{8}$-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．