Question

3．命题p：y=（a²+4a-5）x²-4（a-1）x+3的图象全在x轴的上方，命题q：函数f（x）=x²-4x+3在[0，a]的值域为[-1，3]，若p∨q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 命题p：对a分类讨论：由a²+4a-5=0，解得a=1或-5，直接验证是否满足题意；由a²+4a-5≠0，由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+4a-5＞0}\\{△=16（a-1）^{2}-12（{a}^{2}+4a-5）＜0}\end{array}\right.$，解得a的取值范围．命题q：函数f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1，f（0）=3，f（2）=-1，及其在[0，a]的值域为[-1，3]，可得a≥2．若p∨q为假命题，因此p与q都为假命题，即可得出．

解答 解：命题p：由a²+4a-5=0，解得a=1或-5，a=-5时，y=24x+3的图象不可能全在x轴的上方；a=1时，y=3的图象全在x轴的上方，满足题意；
由a²+4a-5≠0，∵y=（a²+4a-5）x²-4（a-1）x+3的图象全在x轴的上方，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+4a-5＞0}\\{△=16（a-1）^{2}-12（{a}^{2}+4a-5）＜0}\end{array}\right.$，解得1＜a＜19，
综上可得：a的取值范围是[1，19）．
命题q：函数f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1，f（0）=3，f（2）=-1，已知在[0，a]的值域为[-1，3]，∴a≥2．
若p∨q为假命题，∴p与q都为假命题，∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜1或a≥19}\\{a＜2}\end{array}\right.$，解得a＜1．
∴实数a的取值范围是（-∞，1）．

点评 本题考查了二次函数的单调性、分类讨论方法、一元二次方程及其不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．