Question

14．用“五点法”画函数y=1-sin3x，x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]的图象，是否能求该函数图象与直线x=$\frac{π}{3}$，x=$\frac{5π}{3}$及x轴所围成的图象的面积？

Answer 1

分析 根据“五点法”即可画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图；结合积分的应用求出区域的面积．

解答 解（1）：函数的周期T=$\frac{2π}{3}$先作出函数在一个周期内的图象，然后利用平移法得到在[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]内的图象：

3x	π	$\frac{3π}{2}$	2π	$\frac{5π}{2}$	3π
x	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{5π}{6}$	π
y	1	2	1	0	1

则对应的图象为：

则函数图象与直线x=$\frac{π}{3}$，x=$\frac{5π}{3}$及x轴所围成的图象的面积S=∫${\;}_{\frac{π}{3}}^{\frac{5π}{3}}$（1-sin3x）dx=（x+$\frac{1}{3}$cos3x）|${\;}_{\frac{π}{3}}^{\frac{5π}{3}}$
=$\frac{5π}{3}$+$\frac{1}{3}$cos（3×$\frac{5π}{3}$）-$\frac{π}{3}$+$\frac{1}{3}$cos（3×$\frac{π}{3}$）=$\frac{5π}{3}$-$\frac{1}{3}$-$\frac{π}{3}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{4π}{3}$-$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，以及利用积分法求区域面积，要求熟练掌握五点法作图以及函数图象之间的变化关系．