Question

19．已知f（x）=$\sqrt{3}$cos²x-sinxcosx
（I）求函数f（x）的最大值及对应x的值；
（Ⅱ）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a、b、c，若（$\frac{C}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）是函数f（x）图象的一个对称中心，且△ABC的周长为6时，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）依次利用余弦降幂、正弦倍角，辅助角公式化简函数f（x），得到最简形式．
（2）从正弦函数的图象可以分析得到图象的对称中心在正弦函数图象上，故带入函数即可得到C角的值，再利用余弦定理与基本不等式求出ab，从而得到三角形面积的最值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$cos²x-sinxcosx，
由三角恒等式：2cos²x=1+cos2x，及sin2x=2sinxcosx，
∴f（x）=$\frac{\sqrt{3}（1+cos2x）}{2}$-$\frac{sin2x}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}cos2x-sin2x}{2}$，
由辅助角公式得f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴f（x）_max=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+1，
此时x=-$\frac{π}{12}$+kπ（k∈Z），
（2）∵f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∵（$\frac{C}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）是函数f（x）图象的一个对称中心，
∴sin（C-$\frac{π}{3}$）=0，
得：C=$\frac{π}{3}$，
△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab，
由余弦定理知cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∴12+ab=4（a+b），
由基本不等式得：12+ab≥8$\sqrt{ab}$，
∴（$\sqrt{ab}$-2）（$\sqrt{ab}$-6）≥0，
∴ab≤4或ab≥36（舍），
∴当ab=4时，面积最大，为$\sqrt{3}$，
此时a=b=c=2．

点评 本题考查余弦降幂、正弦倍角，辅助角公式，需熟练掌握．将对称中心带入函数即可得到C角的值，再利用余弦定理与基本不等式求出ab，从而得到三角形面积的最值．