Question

10．函数f（x）=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}-1}{x-2}$的值域是（　　）

• A． [-$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$]
• B． [-$\frac{4}{3}$，0]
• C． [0，$\frac{4}{3}$]
• D． [0，1]

Answer 1

分析 先求出函数的定义域，利用换元法转化为两点间的斜率关系，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}≥0}\\{x-2≠0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{x≠2}\end{array}\right.$，则-1≤x≤1，即函数的定义域为[-1，1]，
设x=sinα，则函数f（x）等价为y=$\frac{\sqrt{1-si{n}^{2}α}-1}{sinα-2}$=$\frac{|cosα|-1}{sinα-2}$，
设P（sinα，|cosα|），则点P在单位圆x²+y²=1的上半部分，
则$\frac{|cosα|-1}{sinα-2}$的几何意义是圆上点到点A（2，1）的斜率，
由图象知AB的斜率最小，此时k=0，

AC的斜率最大，此时k=$\frac{0-1}{1-2}=\frac{-1}{-1}$=1，
故0≤k≤1，
故函数f（x）的值域是[0，1]，
故选：D

点评 本题主要考查函数值域的求解，利用换元法转化为两点斜率的关系是解决本题的关键．综合性较强．