Question

4．已知$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinx，m+cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，-m+cosx），且f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$
（1）求函数f（x）的解析式；（这一问不必求出m）
（2）当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，f（x）的最小值是-4，求m的值．

Answer 1

分析 （1）运用向量的数量积的坐标表示，以及二倍角公式和辅助角公式，即可得解函数f（x）的解析式；
（2）结合角的范围即正弦函数的图象和性质可得f（x）的最小值为-m²=-4，即可得到m的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinx，m+cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，-m+cosx），且f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$，
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x-m²
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$-m²
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$-m²，
（2）由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，可得2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
即有x=-$\frac{π}{6}$时，sin（2x+$\frac{π}{6}$）取得最小值-$\frac{1}{2}$，
可得f（x）的最小值为-m²=-4，可得m=±2；

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，考查正弦函数的值域的求法，注意运用二倍角公式和辅助角公式，考查运算能力，属于中档题．