Question

4．提高跨江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状态．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到140辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．经研究表明：当20≤x≤140时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）当0≤x≤140时，求函数v（x）的表达式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意知，此分段函数来分界点处的函数值相等，所以由此可以得到一次函数解析式．
（2）分段函数求最大值，只需分段求解之后找到最大一个即可．

解答 解：（1）当20≤x≤140时，车流速度v（x）是车流密度x的一次函数．
可以设为v（x）=kx+b，
∵当x=140辆/千米时，此时车流速度v=0；
当x=20辆/千米时，车流速度v=60千米/小时，
∴v（20）=20k+b=60，
v（140）=140k+b=0，
∴k=-$\frac{1}{2}$，b=70，
∴v（x）=-$\frac{1}{2}$x+70，
∴v（x）=$\left\{\begin{array}{l}{60}&{v≤20}\\{-\frac{1}{2}x+70}&{20＜x＜140}\\{0}&{x≥140}\end{array}\right.$．
（2）f（x）=x•v（x）=$\left\{\begin{array}{l}{60x}&{x≤20}\\{-\frac{1}{2}{x}^{2}+70x}&{20＜x＜140}\\{0}&{x≥140}\end{array}\right.$，
∴f（x）的最大值为当x=70时，最大为2450辆/小时．

点评 本题考查分段函数解析式以及分段函数求最大值问题，只需分段求解之后找到最大一个即可．