Question

2．已知函数f（x）=ln（1+x）-x+$\frac{k}{2}{x^2}$（k＞0），
（1）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当k≠1时，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （I）利用导数的几何意义可得切线的斜率，即可得出；
（II）$f'（x）=\frac{x（kx+k-1）}{1+x}$，x∈（-1，+∞），通过对k分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答 解：（I）当k=2时，f（x）=ln（1+x）-x+x²，$f'（x）=\frac{1}{1+x}-1+2x$，
由于f（1）=ln2，$f'（1）=\frac{3}{2}$，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 $y-ln2=\frac{3}{2}（x-1）$，即 3x-2y+2ln2-3=0．
（II）$f'（x）=\frac{x（kx+k-1）}{1+x}$，x∈（-1，+∞）
当0＜k＜1时，由$f'（x）=\frac{x（kx+k-1）}{1+x}=0$，得x₁=0，${x_2}=\frac{1-k}{k}＞0$，
∴在（-1，0）和$（\frac{1-k}{k}，+∞）$上f'（x）＞0；在$（0，\frac{1-k}{k}）$上f'（x）＜0，
故f（x）在（-1，0）和$（\frac{1-k}{k}，+∞）$单调递增，在$（0，\frac{1-k}{k}）$单调递减．
当k＞1时，$f'（x）=\frac{x（kx+k-1）}{1+x}=0$，得${x_1}=\frac{1-k}{k}∈（-1，0）$，x₂=0．
∴在$（-1，\frac{1-k}{k}）$和（0，+∞）上f'（x）＞0；在$（\frac{1-k}{k}，0）$上f'（x）＜0，
故f（x）单调递增区间是$（-1，\frac{1-k}{k}）$和（0，+∞），减区间是$（\frac{1-k}{k}，0）$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性及其几何意义，考查了推理能力方法、推理能力与计算能力，属于难题．