Question

16．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在侧面BCC₁B₁及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD₁，试证明动点P在线段B₁C上．

Answer 1

分析 连接AC，BD，利用正方体的性质以及线面垂直的性质定理，结合点在平面内的判定方法证明．

解答 证明：连接AC，BD，∵AC⊥BD
∴AC⊥BD₁，
连接AB₁，A₁B，∵AB₁⊥A₁B，∴A₁B⊥BD₁，∴BD₁⊥平面AB₁C，∴AP⊥BD₁，A∈平面AB₁C，
∴P∈平面AB₁C，∵P∈平面BCC₁B₁，
又平面AB₁C∩平面BCC₁B₁，∴P在线段B₁C上．

点评 本题考查了空间线面垂直以及点与面关系的判定；关键是判定出P在两个平面内，从而在两个面的交线上．