Question

11．如图所示，某村积极开展“美丽乡村•生态家园”建设，现拟在边长为1千米的正方形地块ABCD上划出一片三角形地块CMN建设美丽乡村生态公园，给村民休闲健身提供去处．点M，N分别在边AB，AD上．
（Ⅰ）当点M，N分别是边AB，AD的中点时，求∠MCN的余弦值；
（Ⅱ）由于村建规划及保护生态环境的需要，要求△AMN的周长为2千米，请探究∠MCN是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设∠DCN=∠BCM=θ，由题意利用勾股定理可求CN=CM=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，从而可求sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∠MCN=$\frac{π}{2}$-2θ，利用诱导公式，二倍角公式即可求∠MCN的余弦值．
（Ⅱ）设∠BCM=α，∠DCN=β，AM=x，AN=y，可求BM=1-x，DN=1-y，tanα=1-x，tanβ=1-y，可得tan（α+β）=$\frac{2-（x+y）}{x+y-xy}$，由x+y+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=2，化简得xy=2（x+y）-2，求得tan（α+β）=1，即可得解∠MCN是定值，且∠MCN=$\frac{π}{4}$．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）当点M，N分别是边AB，AD的中点时，设∠DCN=∠BCM=θ，
CD=BC=1，DN=BM=$\frac{1}{2}$，CN=CM=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∠MCN=$\frac{π}{2}$-2θ，
所以cos∠MCN=cos（$\frac{π}{2}$-2θ）=sin2θ=2sinθcosθ=$\frac{4}{5}$，
所以∠MCN的余弦值是$\frac{4}{5}$．-----------（6分）
（Ⅱ）设∠BCM=α，∠DCN=β，AM=x，AN=y，则BM=1-x，DN=1-y，
在△CBM中，tanα=1-x，在△CDN中，tanβ=1-y，
所以：tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{1-x+1-y}{1-（1-x）（1-y）}$=$\frac{2-（x+y）}{x+y-xy}$，（*）----------（8分）
△AMN的周长为2千米，所以x+y+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=2，化简得xy=2（x+y）-2，
代入（*）式，可得tan（α+β）=$\frac{2-（x+y）}{x+y-xy}$=$\frac{2-（x+y）}{x+y-[2（x+y）-2]}$=$\frac{2-（x+y）}{2-（x+y）}$=1，
所以α+β=$\frac{π}{4}$，所以∠MCN是定值，且∠MCN=$\frac{π}{4}$．-----------（12分）

点评 本题主要考查了诱导公式，二倍角公式，勾股定理，两角和的正切函数公式的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．