Question

1．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分别是AB、BB₁的中点，AB=$\sqrt{2}$，AA₁=AC=CB=1．
（1）求异面直线AE与BC₁所成角的余弦值；
（2）求二面角D-A₁C-A的正切值．

Answer 1

分析 （1）取B₁C₁中点F，连接EF，AF，A₁F，则∠AEF或其补角为异面直线所成角，由已知求得EF，AE，AF的长，利用余弦定理求得异面直线AE与BC₁所成角的余弦值；
（2）取AC中点M，在△A₁AC内，过点M作MN⊥A₁C于N，连结DN，则∠DNM 为二面角D-A₁C-A的平面角，求解直角三角形得答案．

解答 解：（1）取B₁C₁中点F，连接EF，AF，A₁F，
于是EF=$\frac{1}{2}$$B{C}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$AE=\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}=\frac{3}{2}$，$AF=\sqrt{A{{A}_{1}}^{2}+{A}_{1}{{C}_{1}}^{2}+{C}_{1}{F}^{2}}=\frac{3}{2}$，
而∠AEF或其补角为异面直线所成角，
又cos∠AEF=$\frac{A{E}^{2}+E{F}^{2}-A{F}^{2}}{2AE•EF}=\frac{\sqrt{2}}{6}$，
故∠AEF为异面直线所成角，其余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{6}$；
（2）取AC中点M，在△A₁AC内，过点M作MN⊥A₁C于N，连结DN，
则∠DNM 为二面角D-A₁C-A的平面角，
∵$DM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}$，
由Rt△A₁AC∽Rt△MNC，
可得$MN=\frac{\sqrt{2}}{4}$，
在Rt△DMN中，$tan∠DNM=\frac{DM}{MN}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{4}}=\sqrt{2}$．
即二面角D-A₁C-A的正切值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查异面直线所成的角，考查了二面角的平面角的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．