Question

6．已知α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），且cosα=$\frac{5}{13}$，sin（α-β）=$\frac{4}{5}$，则sinβ=$\frac{16}{65}$．

Answer 1

分析 由已知可求范围α-β∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），由同角三角函数基本关系式可求sinα，cos（α-β）的值，利用角的关系式β=（β-α）+α及两角和的正弦函数公式即可计算求值．

解答 解：∵α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），且cosα=$\frac{5}{13}$，sin（α-β）=$\frac{4}{5}$，
∴α-β∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{12}{13}$，cos（α-β）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（α-β）}$=$\frac{3}{5}$，
∴sinβ=sin[（β-α）+α]=sin（β-α）cosα+cos（β-α）sinα=-sin（α-β）cosα+cos（α-β）sinα=（-$\frac{4}{5}$）×$\frac{5}{13}$+$\frac{3}{5}×\frac{12}{13}$=$\frac{16}{65}$．
故答案为：$\frac{16}{65}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．