Question

15．设S_n为各项不相等的等差数列{a_n}的前n项和，已知a₃a₅=3a₇，S₃=9．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）设T_n为数列{${\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right.$}的前n项和，求$\frac{T_n}{{{a_{n+1}}}}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）通过设{a_n}的公差为d，利用a₃a₅=3a₇与S₃=9联立方程组，进而可求出首项和公差，进而可得结论
（2）通过（1）裂项、并项相加可知T_n=$\frac{n}{2（n+2）}$，利用基本不等式即得结论．

解答 解：（1）设{a_n}的公差为d，
∵a₃a₅=3a₇，S₃=9，
∴$\left\{\begin{array}{l}（{{a_1}+2d}）（{{a_1}+4d}）=3（{{a_1}+6d}）\\ 3{a_1}+\frac{3×2}{2}d=9\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}d=0\\{a_1}=3\end{array}\right.$（舍去）或$\left\{\begin{array}{l}d=1\\{a_1}=2\end{array}\right.$，
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1；
（2）∵$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{n+1}）（{n+2}）}}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∴${T_n}=\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$
=$（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+…+（{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$
=$\frac{n}{{2（{n+2}）}}$，
∴$\frac{T_n}{{{a_{n+1}}}}=\frac{n}{{2{{（{n+2}）}^2}}}=\frac{n}{{2（{{n^2}+4n+4}）}}=\frac{1}{{2（{n+4+\frac{4}{n}}）}}≤\frac{1}{{2（{4+2\sqrt{n•\frac{4}{n}}}）}}=\frac{1}{16}$，
当且仅当 $n=\frac{4}{n}$，即n=2时“=”成立，
即当n=2时，$\frac{T_n}{{{a_{n+1}}}}$取得最大值$\frac{1}{16}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，涉及基本不等式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．