Question

7．如图茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用X表示．
（Ⅰ）如果乙组同学植树棵数的平均数$\overline{x}$=$\frac{35}{4}$，求X的值和乙组同学植树棵数的方差；
（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：x，8，9，10，由平均数能求出x=8，从而能求出此时乙的方差．
（Ⅱ）记甲组四名同学为A₁，A₂，A₃，A₄，他们植树的棵数依次为9，9，11，11，由此利用列举法能求出这两名同学的植树总棵数为19的概率．

解答 解：（Ⅰ）由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：x，8，9，10，…（1分）
因为平均数为$\overline x=\frac{x+8+9+10}{4}=\frac{35}{4}$；所以x=8．…（3分）
此时乙的方差为$s_{\;}^2=\frac{1}{4}[（8-\frac{35}{4}）_{\;}^2+（8-\frac{35}{4}）_{\;}^2+（9-\frac{35}{4}）_{\;}^2+（10-\frac{35}{4}）_{\;}^2]=\frac{11}{16}$．…（6分）
（Ⅱ）记甲组四名同学为A₁，A₂，A₃，A₄，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；…（7分）
乙组四名同学为B₁，B₂，B₃，B₄，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，…（8分）
分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，
它们是：（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，B₃），（A₁，B₄），（A₂，B₁），（A₂，B₂），
（A₂，B₃），（A₂，B₄），（A₃，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₃），（A₁，B₄），（A₄，B₁），
（A₄，B₂），（A₄，B₃），（A₄，B₄），…（10分）
用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，
它们是：（A₁，B₄），（A₂，B₄），（A₃，B₂），（A₄，B₂），…（11分）
故所求概率为$P（C）=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$．…（12分）

点评 本题考查平均数、方差的求法及应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．