Question

17．设命题p：函数f（x）=x²+（a-1）x+5在（-∞，1]上是减函数；
命题q：?x∈R，lg（x²+2ax+3）＞0．
若p∨￢q是真命题，p∧￢q是假命题，则实数a的取值范围是$-\sqrt{2}＜a≤$-1，或$a≥\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 命题p：利用二次函数的单调性可得：$-\frac{a-1}{2}≥1$；命题q：利用对数函数的圆心性质可得：x²+2ax+3＞1，即x²+2ax+2＞0，因此△=4a²-8＜0．若p∨￢q是真命题，p∧￢q是假命题，可得：p与￢q一真一假，即p与q同真同假．

解答 解：命题p：函数f（x）=x²+（a-1）x+5在（-∞，1]上是减函数，∴$-\frac{a-1}{2}≥1$，解得a≤-1；
命题q：?x∈R，lg（x²+2ax+3）＞0．∴x²+2ax+3＞1，即x²+2ax+2＞0，∴△=4a²-8＜0，解得$-\sqrt{2}＜a＜\sqrt{2}$．
若p∨￢q是真命题，p∧￢q是假命题，
∴p与￢q一真一假，即p与q同真同假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤-1}\\{-\sqrt{2}＜a＜\sqrt{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a＞-1}\\{a≤-\sqrt{2}或a≥\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
解得：$-\sqrt{2}＜a≤$-1，或$a≥\sqrt{2}$．
则实数a的取值范围是$-\sqrt{2}＜a≤$-1，或$a≥\sqrt{2}$．
 故答案为：$-\sqrt{2}＜a≤$-1，或$a≥\sqrt{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．