Question

2．某农庄抓鸡比赛，笼中有16只公鸡和8只母鸡，每只鸡被抓到的机会相等，抓到鸡然后放回，若累计3次抓到母鸡则停止，否则继续抓鸡直到第5次后结束．
（Ⅰ）求抓鸡3次就停止的事件发生的概率；
（Ⅱ）记抓到母鸡的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其均值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意，抓到母鸡的概率为$\frac{1}{3}$，抓鸡3次就停止，说明前三次都抓到了母鸡，由此能求出抓鸡3次就停止的事件发生的概率．
（Ⅱ）依题意，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列及其均值．

解答 解：（Ⅰ）由题意，抓到母鸡的概率为$\frac{1}{3}$，
抓鸡3次就停止，说明前三次都抓到了母鸡，
则抓鸡3次就停止的事件发生的概率为P=${（{\frac{1}{3}}）^3}$=$\frac{1}{27}$  …（4分）
（Ⅱ）依题意，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）${C}_{5}^{0}$•${（{1-\frac{1}{3}}）^5}$=$\frac{32}{243}$，
P（ξ=1）=${C}_{5}^{1}$•$\frac{1}{3}$•${（{1-\frac{1}{3}}）^4}$=$\frac{80}{243}$，
P（ξ=2）=${C}_{5}^{2}$•${（{\frac{1}{3}}）^2}$•${（{1-\frac{1}{3}}）^3}$=$\frac{80}{243}$，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}$•${（{\frac{1}{3}}）^3}$+${C}_{3}^{2}$•${（{\frac{1}{3}}）^2}$•$（{1-\frac{1}{3}}）$•$\frac{1}{3}$+${C}_{4}^{2}$•${（{\frac{1}{3}}）^2}$•${（{1-\frac{1}{3}}）^2}$•$\frac{1}{3}$=$\frac{17}{81}$  …（8分）
随机变量ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{32}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{17}{81}$

…．（10分）
随机变量ξ的均值为E（ξ）=$\frac{32}{243}$×0+$\frac{80}{243}$×1+$\frac{80}{243}$×2+$\frac{17}{81}$×3=$\frac{131}{81}$  …（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．