Question

19．设{a_n}是公比不为1的等比数列，且a₅，a₃，a₄成等差数列．
（1）求数列{a_n}的公比；
（2）若a₄+a₅＜a₃a₄＜a₂+a₃，求a₁的取值范围．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}的公比为q（q≠0，q≠1），由a₅，a₃，a₄成等差数列，得2a₃=a₅+a₄，解得到即可，
（2）由等比数列的通项公式代入即可得到关于a₁的不等式组，解得即可．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公比为q（q≠0，q≠1），
由a₅，a₃，a₄成等差数列，得2a₃=a₅+a₄，
即$2{a_1}{q^2}={a_1}{q^4}+{a_1}{q^3}$．
由a₁≠0，q≠0得q²+q-2=0，
解得q₁=-2，q₂=1（舍去）．
∴q=-2．
（2）$\left\{\begin{array}{l}q=-2\\{a_4}+{a_5}＜{a_3}{a_4}＜{a_2}+{a_3}\end{array}\right.⇒8{a_1}＜-32a_1^2＜2{a_1}⇒-\frac{1}{4}＜{a_1}＜-\frac{1}{16}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式和等差数列的性质，属于基础题．