Question

7．已知函数f（x）=$\frac{3}{5}$sinx+sinβcosx+1（β位常数），且f（0）=$\frac{9}{5}$．
（1）求sinβ与cos2β的值
（2）求函数f（x）的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）由f（0）=$\frac{9}{5}$，可求得sinβ=$\frac{4}{5}$，由二倍角公式，cos2β=1-2sin²β的值；
（2）将sinβ=$\frac{4}{5}$，代入化简f（x）=sin（x+φ）+1，根据正弦函数图象可求得f（x）的最大值与最小值．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{3}{5}$sinx+sinβcosx+1，f（0）=$\frac{9}{5}$．
∴sinβ=$\frac{4}{5}$，
∴cos2β=1-2sin²β=1-2•$\frac{16}{25}$=$-\frac{7}{25}$；
（2）f（x）=$\frac{3}{5}$sinx+$\frac{4}{5}$cosx+1，
=sin（x+φ）+1，其中tanφ=$\frac{4}{3}$，
∵sin（x+φ）最大值为1，最小值为-1，
∴f（x）的最大值为2，最小值为0．

点评 本题考查正弦函数图象，二倍角公式及三角恒等变换，属于中档题．