Question

8．设向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，定义$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的向量积：$\overrightarrow{a}$×$\overrightarrow{b}$是一个向量，它的模|$\overrightarrow{a}$×$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|sinθ，若$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（1，1），则|$\overrightarrow{a}$×$\overrightarrow{b}$|=1．

Answer 1

分析 由已知向量的坐标求出$|\overrightarrow{a}|，|\overrightarrow{b}|$及$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，进一步求出向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值，由平方关系得到正弦值，代入|$\overrightarrow{a}$×$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|sinθ得答案．

解答 解：由$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（1，1），
得$|\overrightarrow{a}|=1，|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1$，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{1}{1×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵θ∈[0，π]，
∴sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则|$\overrightarrow{a}$×$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|sinθ=1×$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$．
故答案为：1．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，训练了由数量积求向量的夹角，是中档题．