【题目】【2018海南高三阶段性测试(二模)】如图,在直三棱柱中,
,
,点
为
的中点,点
为
上一动点.
(I)是否存在一点,使得线段
平面
?若存在,指出点
的位置,若不存在,请说明理由.
(II)若点为
的中点且
,求三棱锥
的体积.
【答案】(I)见解析(II)
【解析】试题分析:
(1)存在点,且
为
的中点.连接
,
,由三角形中位线的性质可得
,结合线面平行的判定定理可得
平面
.
(2)由题意结合勾股定理可求得.以点
为坐标原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴建立空间直角坐标系,可得平面
的一个法向量为
,平面
的一个法向量为
,据此计算可得二面角
的正弦值为
.
试题解析:
(1)存在点,且
为
的中点.证明如下:
如图,连接,
,点
,
分别为
,
的中点,
所以为
的一条中位线,
,
又平面
,
平面
,所以
平面
.
(2)设,则
,
,
,
由,得
,解得
.
由题意以点为坐标原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴建立如图所示的空间直角坐标系,可得
,
,
,
,
故,
,
,
.
设为平面
的一个法向量,则
得
令,得平面
的一个法向量
,
同理可得平面的一个法向量为
,
故二面角的余弦值为
.
故二面角的正弦值为
.
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【题目】已知幂函数,满足
.
()求函数
的解析式.
()若函数
,
,是否存在实数
使得
的最小值为
?
若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
()若函数
,是否存在实数
,
,使函数
在
上的值域为
?若存在,求出实数
的取值范围;若不存在,说明理由.
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【题目】对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M名学生参加社区服务的次数,根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.
分组 | 频数 | 频率 |
[10,15) | 10 | 0.25 |
[15,20) | 24 | n |
[20,25) | m | p |
[25,30] | 2 | 0.05 |
合计 | M | 1 |
(1)求出表中M,p及图中a的值;
(2)若该校高三学生有240人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数;
(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数.
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【题目】在每年的春节后,某市政府都会发动公务员参与到植树绿化活动中去.林业管理部门在植树前,为了保证树苗的质量,都会在植树前对树苗进行检测.现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗,量出它们的高度如下(单位:厘米):
甲:37,21,31,20,29,19,32,23,25,33;
乙:10,30,47,27,46,14,26,10,44,46.
(1)画出两组数据的茎叶图,并根据茎叶图对甲、乙两种树苗的高度作比较,写出两个统计结论;
(2)设抽测的10株甲种树苗高度平均值为,将这10株树苗的高度依次输入,按程序框(如图)进行运算,问输出的S大小为多少?并说明S的统计学意义.
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【题目】如图,正方形中,
,
与
交于
点,现将
沿
折起得到三棱锥
,
,
分别是
,
的中点.
(1)求证: ;
(2)若三棱锥的最大体积为
,当三棱锥
的体积为
,且
为锐角时,求三棱锥
的体积.
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【题目】已知函数f(x)=lnx﹣0.5x+1,则不等式f(2x﹣3)<0.5的解集为( )
A.{x|﹣1<x<1.5}
B.{x|0.5<x<2}
C.{x|x<2}
D.{x|1.5<x<2}
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【题目】下列命题正确的是( )
A.命题“x∈R,使得x2﹣1<0”的否定是:x∈R,均有x2﹣1<0
B.命题“若x=3,则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是:若x≠3,则x2﹣2x﹣3≠0
C.“ ”是“
”的必要而不充分条件
D.命题“cosx=cosy,则x=y”的逆否命题是真命题
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【题目】已知椭圆C的两个焦点是F1(﹣2,0),F2(2,0),且椭圆C经过点A(0, ).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若过椭圆C的左焦点F1(﹣2,0)且斜率为1的直线l与椭圆C交于P、Q两点,求线段PQ的长(提示:|PQ|= |x1﹣x2|).
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