Question

8．设双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{6}=1$的左右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|AF₂|+|BF₂|的最小值等于16．

Answer 1

分析 根据双曲线的标准方程可得：a=3，b=$\sqrt{6}$，再由双曲线的定义可得：|AF₂|-|AF₁|=2a=6，|BF₂|-|BF₁|=2a=6，所以得到|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=12，再根据A、B两点的位置特征得到答案．

解答 解：根据双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{6}=1$，得：a=3，b=$\sqrt{6}$，
由双曲线的定义可得：|AF₂|-|AF₁|=2a=6…①，
|BF₂|-|BF₁|=2a=6…②，
①+②可得：|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=12，
∵过双曲线的左焦点F₁的直线交双曲线的左支于A，B两点，
∴|AF₁|+|BF₁|=|AB|，当|AB|是双曲线的通径时|AB|最小．
∴|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=|AF₂|+|BF₂|-|AB|=12．
|BF₂|+|AF₂|=|AB|+12≥$\frac{2{b}^{2}}{a}$+12=$\frac{2×6}{3}$+12=16．
故答案为：16．

点评 本题考查两条线段和的最小值的求法，是中档题，解题时要注意双曲线的简单性质的合理运用．