Question

【题目】已知正方体的棱长为2，点，，分别为棱，，的中点，下列结论中，其中正确的个数是（ ）

①过，，三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；

②平面；

③平面；

④异面直线与所成角的正切值为；

⑤四面体的体积等于

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据公理3，作截面可知①正确；根据直线与平面的位置关系可知②不正确；根据线面垂直的判定定理可知③正确；由条件有,所以为异面直线与的夹角可知④正确；用正方体体积减去四个正三棱锥的体积可知⑤不正确．

对于①.延长分别与的延长线交于，连接交于，设与的延长线交于，连接交于，交于，连，则截面六边形为正六边形，故①正确；
对于②.与相交，故与平面相交，所以②不正确；
对于③.∵，且与相交，所以平面，故③正确；
对于④.连接,由条件有,所以（或其补角）为异面直线与的夹角,在直角三角形中， .故④不正确；
对于⑤.四面体的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，即为，故⑤不正确．

所以正确的命题有2个.
故选：B