Question

【题目】已知椭圆的离心率为，且经过点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设椭圆的上、下顶点分别为， 点是椭圆上异于的任意一点， 轴， 为垂足， 为线段中点，直线交直线于点， 为线段的中点，若四边形的面积为，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）由离心率得，再把已知点的坐标代入，结合联立后可解得，得椭圆方程；

（Ⅱ）设，得点坐标，写出方程，求得点坐标，又可得点坐标，利用斜率相等求出与轴交点的坐标，利用可求得点坐标，从而得直线方程．

（Ⅰ）由题意，解得，

所以椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）设，则，且．因为为线段中点，

所以．又，所以直线的方程为．

因为 令，得即．又，为线段的中点，有．

设直线与轴交于，

由得：，∴，

∴．

又，∴，

解得：，代入椭圆方程得：，∵，∴，

∴直线的方程为．