Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，沿其对角线BD将折起至，使得点在平面ABCD内的射影恰为点B，点E为的中点．

（Ⅰ）求证：平面BDE；

（Ⅱ）若，求与平面BDE所成的角．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）连接交于点，连接，证得，再结合线面平行的判定定理，即可证得平面；

（Ⅱ）通过线面垂直来证明面面垂直，结合根据面面垂直的性质定理来得到线面垂直，从而得到是与平面所成的角，在中，即可求解．

（Ⅰ）如图所示，连接交于点，则为的中点，

连接，因为点为的中点，则，

且平面，平面，所以平面．

（Ⅱ）因为点在平面内的射影恰为点，所以，

从而可知，故，且，

所以平面，则有，

不妨设，则，，，，则，如图所示，在平面与平面上分别过点，作的垂线，垂足重合，记为，

所以平面且平面，故平面平面,

过点作于点，则是与平面所成的角，

在中，，，所以，

又由，所以直线与平面所成的角为．