Question

【题目】某人玩掷正方体骰子走跳棋的游戏，已知骰子每面朝上的概率都是，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，……，第100站.一枚棋子开始在第0站，选手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出朝上的点数为1或2，棋子向前跳两站；若掷出其余点数，则棋子向前跳一站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束；设游戏过程中棋子出现在第站的概率为.

（1）当游戏开始时，若抛掷均匀骰子3次后，求棋子所走站数之和X的分布列与数学期望；

（2）证明：；

（3）若最终棋子落在第99站，则记选手落败，若最终棋子落在第100站，则记选手获胜，请分析这个游戏是否公平.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）证明见解析；（3）游戏不公平，详见解析

【解析】

（1）随机变量X的所有可能取值为3，4，5，6，计算概率得到分布列，计算得到数学期望.

（2）根据题意得到，化简得到.

（3）计算得到，，得到答案.

（1）随机变量X的所有可能取值为3，4，5，6，

，

，

所以，随机变量X的分布列为：

.

（2）由题意知，当时，棋子要到第站，有两种情况：

①由第n站跳1站得到，其概率为；

②由第站跳2站得到，其概率为

，，

，

（3）由（2）知，当棋子落到第99站游戏结束的概率为，

当棋子落到第100站游戏结束的概率为，

，最终棋子落在第99站的概率大于落在第100站的概率，

游戏不公平.