Question

【题目】对于定义城为R的函数，若满足：①；②当，且时，都有；③当且时，都有，则称为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ）

A.B.

C.D.

Answer 1

【答案】BC

【解析】

运用新定义，分别讨论四个函数是否满足三个条件，结合奇偶性和单调性，以及对称性，即可得到所求结论．

解：经验证，，，，都满足条件①；

，或；

当且时，等价于，

即条件②等价于函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；

A中，，，则当时，由，得，不符合条件②，故不是“偏对称函数”；

B中，，，当时，，，当时，，，则当时，都有，符合条件②，

∴函数在上单调递减，在上单调递增，

由的单调性知，当时，，

∴，

令，，，

当且仅当即时，“”成立，

∴在，上是减函数，∴，即，符合条件③，

故是“偏对称函数”；

C中，由函数，当时，，当时，，符合条件②，

∴函数在上单调递减，在上单调递增，

有单调性知，当时，，

设，，则，

在上是减函数，可得，

∴，

即，符合条件③，故是“偏对称函数”；

D中，，则，则是偶函数，

而 （），则根据三角函数的性质可知，当时，的符号有正有负，不符合条件②，故不是“偏对称函数”；

故选：BC．