Question

【题目】某造船公司年造船量是20艘,已知造船艘的产值函数为 (单位:万元),成本函数为(单位:万元),又在经济学中,函数的边际函数定义为.

(1)求利润函数及边际利润函数.(提示:利润=产值-成本)

(2)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大?

(3)求边际利润函数的单调递减区间,并说明单调递减在本题中的实际意义是什么?

Answer 1

【答案】（1）且；（2）12；（3）且.

【解析】

（1）先根据利润=产值-成本求P(x),再求边际利润函数.(2)利用导数求年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大.(3)利用二次函数求边际利润函数的单调递减区间,并说明单调递减在本题中的实际意义.

(1)P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3240x-5(x∈N+,且1≤x≤20);

MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3275(x∈N+,且1≤x≤19).

(2)P'(x)=-30x2+90x+3240=-30(x-12)(x+9),

∵x>0,∴P'(x)=0时,x=12,

∴当0<x<12时,P'(x)>0,

当x>12时,P'(x)<0,∴x=12时,P(x)有最大值.

即年造船量安排12艘时,可使公司造船的年利润最大.

(3)MP(x)=-30x2+60x+3275=-30(x-1)2+3305.所以,当x≥1时,MP(x)是减函数,

所以单调减区间为[1,19],且x∈N+.

MP(x)是减函数的实际意义是:随着产量的增加,每艘船的利润与前一艘船的利润比较,利润在减少.