Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的上顶点为，圆经过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线交椭圆于，两点，过点作直线的垂线交圆于另一点．若△PQN的面积为3，求直线的斜率．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）依据题意可得：，由圆经过点可得：，问题得解。

（2）当的斜率为0时，检验得不合题意，可设设直线的方程为，联立直线与椭圆方程可得，设，，解得：，，由弦长公式可得：，由△PQN的面积为3列方程可得：，即可求得：，问题得解。

（1）因为椭圆的上顶点为，所以，又圆经过点，

所以． 所以椭圆的方程为．

（2）若的斜率为0，则，，

所以△PQN的面积为，不合题意，所以直线的斜率不为0．

设直线的方程为，由消得，

设，，

则，，

所以 .

直线的方程为，即，所以．

所以△PQN的面积 ，

解得，即直线的斜率为．