[题目]在三棱锥各棱所在的6条直线上.互相垂直的最多有儿对? 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】在三棱锥各棱所在的6条直线上，互相垂直的最多有儿对？（每两条组成一对）

【答案】6

【解析】

分三步证明最多有6对互相垂直的直线.

（1）6对是可以达到的.

当且时，由线面垂直的性质有，，.

又由三垂线定理，有，.这就得出6对互相垂直的直线(如图所示).

(2)8对是不可能的.

由于一个三角形的内角中最多有一个直角，最少有两个锐角，所以4个面三角形至少有8个锐角，又由6条直线可以组成对直线，知，互相垂直的直线不超过7对.

(3)7对是不可能的.

若不然，有7对垂直直线，因异面直线只有3对，故至少有4对垂直直线是共面的，

得三棱锥的4个表面都必须是直角三角形（得4对）.

进而3对成异面直线的棱也互相垂直.

此时，三棱锥的一个顶点在所对面上的射影必是该三角形的垂心，

而直角三角形的垂心就是直角顶点，所以这个三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且垂足就是垂面三角形的顶点(图中，).

这时底面三角形直角顶点的对面为锐角三角形（为锐角三角形），与4个面均为直角三角形矛盾.

综上得，互相垂直的直线最多有6对.

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