Question

【题目】已知函数 ，且 .
（Ⅰ）设 ，求 的单调区间及极值；
（Ⅱ）证明：函数 的图象在函数 的图象的上方.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）解：由 ，所以 ，解得 ，
又 得 ，所以 ，
于是 ，则 ，由 ，
故答案为： 的递增区间 ，递减区间 ，
当 时， ．
（Ⅱ）证明：“函数 的图象在函数 的图象的上方”等价于“ ”，即要证： ，又 ，
所以只要证 ．
由（Ⅰ）得 ，即 （当且仅当 时等号成立），
所以只要证明当 时， 即可．
设 = ，
所以 ，令 ，解得 ，
由 得 ，所以 在 上为增函数，
所以 =0，即 ，
所以 ，故函数 的图象在函数 的图象的上方.
【解析】（1）利用已知条件得到关于a,b的方程组，求a,b。再用导函数求函数的单调区间和极值.
（2）先找到直线在函数的图象上方，转化为证明不等式成立，用分析法得到等价的不等式，再转化为构造的函数h(x)的最小值大于0即可.