Question

求圆心在直线x+y=0上，且过两圆x²+y²-2x+10y-24=0，x²+y²+2x+2y-8=0交点的圆的方程．

Answer 1

分析：本题利用直线与圆的位置关系，求解圆的标准方程和一般方程；有多种解法：
 一是利用圆心到两交点的距离相等求圆心，先两圆方程联立求出两圆的交点坐标，再利用圆心在直线x+y=0上，可设圆心坐标为（x，-x），利用两点间距离公式得方程求出x，进一步可得出圆心坐标，从而得到圆的方程；
二是可利用弦的垂直平分线过圆心，先求出弦的中垂线方程，以及由已知直线x+y=0过圆心，联立方程组可求得圆心坐标，进而求出圆的方程；
三是利用待定系数法求圆的方程，设出圆的标准方程（x-a）²+（y-b）²=r²，利用两交点坐标列出方程，以及圆心在直线x+y=0上，得到a+b=0解出a，b，r可得圆的方程．
四是利用“圆系”方程的概念求圆的方程，于是可设所求圆的方程为x²+y²-2x+10y-24+λ（x²+y²+2x+2y-8）=0（λ≠-1），得到其圆心坐标，再代入x+y=0可得出λ的值，反代入圆系方程化简得出圆的方程来．

解答：解法一：（利用圆心到两交点的距离相等求圆心）
将两圆的方程联立得方程组

x2+y2-2x+10y-24=0 x2+y2+2x+2y-8=0

，
解这个方程组求得两圆的交点坐标A（-4，0），B（0，2）．
因所求圆心在直线x+y=0上，故设所求圆心坐标为（x，-x），则它到上面的两上交点
（-4，0）和（0，2）的距离相等，故有

(-4-x)2+(0+x)2

=

x2+(2+x)2

，
即4x=-12，∴x=-3，y=-x=3，从而圆心坐标是（-3，3）．
又r=

(-4+3)2+32

=

10

，故所求圆的方程为（x+3）²+（y-3）²=10．
解法二：（利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程）
同解法一求得两交点坐标A（-4，0），B（0，2），弦AB的中垂线为2x+y+3=0，
它与直线x+y=0交点（-3，3）就是圆心，又半径r=

10

，
故所求圆的方程为（x+3）²+（y-3）²=10．
解法三：（用待定系数法求圆的方程）
同解法一求得两交点坐标为A（-4，0），B（0，2）．
设所求圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，因两点在此圆上，且圆心在x+y=0上，所以得方
程组

(-4-a)2+b2=r2 a2+(3-b)2=r2 a+b=0

，解之得

a=-3 b=3 r= 10

，
故所求圆的方程为（x+3）²+（y-3）²=10．
解法四：（用“圆系”方法求圆的方程．过后想想为什么？）
设所求圆的方程为x²+y²-2x+10y-24+λ（x²+y²+2x+2y-8）=0（λ≠-1），
即x2+y2-

2(1-λ)

1+λ

x+

2(5+λ)

1+λ

y-

8(3+λ)

1+λ

=0．
可知圆心坐标为(

1-λ

1+λ

，-

5+λ

1+λ

)．
因圆心在直线x+y=0上，所以

1-λ

1+λ

-

5+λ

1+λ

=0，解得λ=-2．
将λ=-2代入所设方程并化简，求圆的方程x²+y²+6x-6y+8=0．

点评：本题考查直线和圆的方程，直线与圆的位置关系，考查了圆的几何性质，圆的方程的求法--待定系数法求方程的思想方法，圆系方程的概念．