Question

如图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上一点，AC切半圆O于点D，BC⊥AC于点C，DF⊥EB于点F，若BC=6，AC=8，求DF的长．

Answer 1

分析：在Rt△ABC中，由于AC⊥BC，利用勾股定理可得AB=

AC2+BC2

=10．设圆的半径为r，AD=x，连接OD，
由于AC切半圆O于点D，利用切线的性质可得OD⊥AC．因此OD∥BC．可得

AD

AC

=

OD

BC

，即

x

8

=

r

6

．又由切割线定理
AD²=AE•AB，即

16

9

r²=（10-2r）×10，可解得r．可得AD，在Rt△ADO中，可得AO=

AD2+OD2

．再利用

1

2

AD•OD=

1

2

DF•AO，即可得出．

解答：解：在Rt△ABC中，∵AC⊥BC，∴AB=

AC2+BC2

=

82+62

=10．
设圆的半径为r，AD=x，连接OD，
∵AC切半圆O于点D，∴OD⊥AC．
∴OD∥BC．
∴

AD

AC

=

OD

BC

，即

x

8

=

r

6

，化为x=

4

3

r．
又由切割线定理AD²=AE•AB，即

16

9

r²=（10-2r）×10，
解得r=

15

4

．
∴AD=

4

3

×

15

4

=5，
在Rt△ADO中，AO=

AD2+OD2

=

52+( 15 4 )2

=

25

4

．
∵

1

2

AD•OD=

1

2

DF•AO，
∴DF=

AD•OD

AO

=

5× 15 4

25 4

=3．

点评：本题综合考查了圆的切线的性质、切割线定理、勾股定理、等面积变形、平行线分线段成比例定理等基础知识与基本技能方法，属于中档题．