Question

（2008•深圳二模）（几何证明选讲选做题）如图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上一点，AC切半圆O于点D，BC⊥AC于C，DF⊥EB于点F，若BC=6，AC=8，则DF=

3

．

Answer 1

分析：由已知中EB是半圆O的直径，A是BE延长线上一点，AC切半圆O于点D，BC⊥AC于C，连接OD，由切线的性质可得，OD⊥AC，则△AOD∽△ABC，再根据BC=6，AC=8，结合相似三角形对应边成比例，即可求出半径的长，进而得到AE，AD的长．即可求出DF．

解答：解：连接OD，设半径为x．
∵BC=6，AC=8，
∴AB=10
∵AC切半圆O于点D，
∴OD⊥AC，AEAC
又∵BC⊥AC于C，
∴OD∥BC，

OD

BC

=

AO

AB

⇒

x

6

=

10-x

10

⇒x=

15

4

．
则△AOD∽△ABC
则

OD

BC

=

AO

AB

=

AE

AC

∴AE=

5

2

，AD=5
∵sin∠DAE=

OD

OA

=

DF

AD

，
∴DF=

OD•AD

OA

=

15 4 ×5

10- 15 4

=3．
故答案为：3．

点评：本题考查的知识点是与圆有关的比例线段，其中根据切线的性质及相似三角形的判定定理得到△AOD∽△ABC是解答本题的关键．