Question

已知函数f(x)=lnx+

a-x

x

，其中a为大于零的常数．
（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=1-2x平行，求a的值；
（II）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（I）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由平行直线的斜率相等方程求a的值即可；
（II）对参数a进行分类，先研究f（x）在[1，2]上的单调性，利用导数求解f（x）在[1，2]上的最小值问题即可，故只要先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最小值即得．

解答：解：f′(x)=

1

x

+

-x-(a-x)

x2

=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

（x＞0）（.4分）
（I）因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=1-2x平行，
所以f'（1）=-2，即1-a=-2，解得a=3．（6分）
（II）当0＜a≤1时，f'（x）＞0在（1，2）上恒成立，
这时f（x）在[1，2]上为增函数∴f（x）_min=f（1）=a-1．（8分）
当1＜a＜2时，由f'（x）=0得，x=a∈（1，2）∵对于x∈（1，a）有f'（x）＜0，f（x）在[1，a]上为减函数，
对于x∈（a，2）有f'（x）＞0，f（x）在[a，2]上为增函数，∴f（x）_min=f（a）=lna．（11分）
当a≥2时，f'（x）＜0在（1，2）上恒成立，
这时f（x）在[1，2]上为减函数，∴f(x)min=f(2)=ln2+

a

2

-1．
综上，f（x）在[1，2]上的最小值为
①当0＜a≤1时，f（x）_min=a-1，
②当1＜a＜2时，f（x）_min=lna，
③当a≥2时，f(x)min=ln2+

a

2

-1（13分）

点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义、两条直线平行的判定等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于基础题．