Question

已知x，y∈R且

x+y≤4 3x-y≥0 y≥0

，则存在θ∈R，使得（x-4）cosθ+ysinθ+

2

=0的概率为（　　）

• A、

  π

  24

• B、

  π

  8

• C、2-

  π

  24

• D、1-

  π

  24

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用辅助角公式将条件进行化简，求出对应的平面区域的面积即可得到结论．

解答： 解：∵（x-4）cosθ+ysinθ+

2

=0，
∴（4-x）cosθ-ysinθ=

2

，
即

(4-x)2+y2

cos（θ+β）=

2

，（β为参数），
∵存在θ∈R，使得（x-4）cosθ+ysinθ+

2

=0，
∴

(4-x)2+y2

≥

2

，
即（x-4）²+y²≥2，对应的图象是以（4，0）为圆心，半径r=

2

的圆的外部，
作出不等式组对应的平面区域如图，
则由

x+y=4 3x-y=0

，解得

x=1 y=3

，即A（1，3），
则△AOB的面积S=

1

2

×4×3=6，
圆在△AOB内部的面积S=

1

2

×(

2

)2×

π

4

=

π

4

，
则（x-4）²+y²≥2，对应的区域面积S=6-

π

4

，
则对应的概率P=

6- π 4

6

=1-

π

24

，
故选：D．

点评：本题主要考查几何概型的概率计算，根据三角函数的辅助角公式结合线性规划的知识是解决本题的关键．