Question

17．若以曲线y=f（x）上的任意一点M（x，y）为切点作切线L，曲线上总存在异于M的点N（x₁，y₁），使得过点N可以作切线L₁，且L∥L₁，则称曲线y=f（x）具有“可平行性”．下面有四条曲线：
①y=x³-x  ②y=x+$\frac{1}{x}$  ③y=sinx  ④y=（x-2）²+lnx
其中具有可平行性的曲线为②③．（写出所有满足条件的曲线编号）

Answer 1

分析 根据导数的几何意义，将定义转化为：“方程y′=a（a是导数值）至少有两个根”，利用：y′=-1时，x的取值唯一判断①不符合；对于②和③分别求出导数列出方程化简后判断；对于④求出导数化简后，再由△=0时解唯一判断④不符合．

解答 解：由题意得，曲线具有可平行性的条件是
方程y′=a（a是导数值）至少有两个根．
①由y′=3x²-1知，当y′=-1时，x的取值唯一，只有0，不符合题意；
②由y′=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=a（x≠0且a≠1），即$\frac{1}{{x}^{2}}$=1-a，此方程有两不同的个根，符合题意；
③由y′=cosx和三角函数的周期性知，cosx=a（-1≤a≤1）的解有无穷多个，符合题意；
④由y'=2x-4+$\frac{1}{x}$（x＞0），令2x-4+$\frac{1}{x}$=a，则有2x²-（4+a）x+1=0，当△=0时解唯一，不符合题意，
故答案为：②③．

点评 本题考查了导数的几何意义，关键是将定义正确转化为：曲线上至少存在两个不同的点，对应的导数值相等，综合性较强，考查了转化思想．