Question

7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=$\frac{1}{2}$（3a_n-1）．数列{b_n}为等差数列，b₁=a₁，b₂=a₃．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=$\frac{{4（{n^2}+n+1）}}{{b_{n+1}^2-1}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系与等比数列的通项公式可得：a_n．利用等差数列的通项公式可得b_n．
（II）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由${S_n}=\frac{1}{2}（3{a_n}-1）$，得${S_{n-1}}=\frac{1}{2}（3{a_{n-1}}-1）（n≥2）$，
两式相减得：${a_n}=\frac{1}{2}（3{a_n}-3{a_{n-1}}）（n≥2）$，
即a_n=3a_n-1（n≥2），
由${S_1}=\frac{1}{2}（3{a_1}-1）$，得a₁=1．
∴数列{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，
故${a_n}={3^{n-1}}$．
设等差数列{b_n}的公差为d，依题设得，b₁=a₁，b₅=a₃，
由上式可得1+4d=9，解得d=2，
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n+1=2n+1，
∴${c_n}=\frac{{4（{n^2}+n+1）}}{{b_{n+1}^2-1}}=\frac{{4（{n^2}+n+1）}}{{{{（2n+1）}^2}-1}}=\frac{{4（{n^2}+n+1）}}{{4{n^2}+4n}}=\frac{{{n^2}+n+1}}{{{n^2}+n}}$=$1+\frac{1}{n（n+1）}=1+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴${T_n}={c_1}+{c_2}+…+{c_n}=[1+（1-\frac{1}{2}）]+[1+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）]+…+[1+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$n+（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=n+1-\frac{1}{n+1}=\frac{{{n^2}+2n}}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．