Question

12．若直线y=kx+2是函数f（x）=x³-x²-3x-1的图象的一条切线，则k=（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． 2
• D． -2

Answer 1

分析 设切点为（m，n），分别代入曲线方程和切线的方程，求得函数f（x）的导数，求得切线的斜率，解方程即可得到k=2．

解答 解：设切点为（m，n），可得km+2=n，①
m³-m²-3m-1=n，②
函数f（x）=x³-x²-3x-1的导数为f′（x）=3x²-2x-3，
可得切线的斜率为3m²-2m-3，
由直线y=kx+2为切线，可得k=3m²-2m-3，③
由①②③消去k，n可得2m³-m²+3=0，
即为（m+1）（4m²-3m+3）=0，
可得m=-1或4m²-3m+3=0，
由判别式为9-48＜0，可得m=-1．
代入③，可得k=2．
故选：C．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查运算能力，正确求导和设出切点是解题的关键，属于中档题．