Question

3．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且$\frac{cosB}{b}$=-$\frac{cosC}{2a+c}$．
（1）求角B的大小；
（2）若b=$\sqrt{13}$，a+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得2sinAcosB+sinA=0，结合sinA≠0，可得$cosB=-\frac{1}{2}$，结合范围0＜B＜π，即可得解B的值．
（2）由余弦定理可得b²=（a+c）²-2ac-2accosB，由已知可解得ac=3，理由三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）在△ABC中，∵$\frac{cosB}{b}=-\frac{cosC}{2a+c}$，由正弦定理得：$\frac{cosB}{sinB}=-\frac{cosC}{2sinA+sinC}$，（2分）
∴2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，
∵A+B+C=π，
∴2sinAcosB+sinA=0，（4分）
∵sinA≠0，
∴$cosB=-\frac{1}{2}$，（5分）
∵0＜B＜π，
∴$B=\frac{2π}{3}$．                      （6分）
（2）∵将$b=\sqrt{13}$，a+c=4，$B=\frac{2π}{3}$代入b²=a²+c²-2accosB，
即b²=（a+c）²-2ac-2accosB，（8分）
∴$13=16-2ac（1-\frac{1}{2}）$，可得ac=3，（10分）
于是，${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{3}{4}\sqrt{3}$．  （12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．